Si la suma de quadrats de dos nombres és de 80 i el quadrat de diferència entre els dos nombres és de 36, llavors quin és el producte de dos nombres?


Resposta 1:

La resposta és 22.

Siguin x els dos nombres x, i y.

Les condicions donades són:

  • La suma de quadrats de dos nombres és 80.x² + y² = 80El quadrat de diferència entre els dos nombres és 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Agafeu la segona condició i obteniu un valor de x².

  • x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Substituïu x² en la primera condició pel valor derivat.

  • x² + i² = 80 (-y² + 2xy + 36) + i² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36-36 = 80-362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Així, el producte dels dos nombres (x, y) és 22.


Resposta 2:

Primera condició:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Segona condició:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Des de la segona condició:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Substitució de la primera condició:

802ab=3680-2ab=36

, reorganitzant-se

2ab=8036=442ab=80-36=44

Tan

2ab=442ab=44

i

ab=22ab=22

.

La resposta: el producte és 22.

Per si voleu resoldre el sistema complet: la diferència és

36=6\sqrt{36}=6

i el producte ho és

2222

, així que

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Per tant, si obtenim les solucions per a

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

podem solucionar el problema.

La solució per a

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

és

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Tan

a=31+3a=\sqrt{31}+3

i

b=313b=\sqrt{31}-3

.

És fàcil demostrar que aquests dos nombres compleixen les condicions de la pregunta i la resposta.


Resposta 3:

Primera condició:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Substitució de la primera condició:

319=2231–9=22

, reorganitzant-se

x2+y2=80x^2+y^2=80

Tan

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

i

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

Per si voleu resoldre el sistema complet: la diferència és

36=6\sqrt{36}=6

i el producte ho és

2222

, així que

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Per tant, si obtenim les solucions per a

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

podem solucionar el problema.

La solució per a

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

és

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Tan

a=31+3a=\sqrt{31}+3

i

b=313b=\sqrt{31}-3

.

És fàcil demostrar que aquests dos nombres compleixen les condicions de la pregunta i la resposta.