En teoria quàntica, quina diferència hi ha entre un estat mixt adequat i un estat mixt impropi?


Resposta 1:

Pel que ho he entès, un estat mixt adequat és una combinació estadística d’estats purs que formen part de l’experiment, mentre que un estat mixt indegut és on una part del sistema ja no forma part de l’experiment (per exemple, un raig còsmic s’enreda amb el seu qubit i vola lluny: el que et queda és un estat mixt inadequat, ja que ja no tens accés a tot l’estat).

Mentre vaig investigar aquesta pregunta, vaig trobar això: http: //arxiv.org/pdf/quant-ph/01 ... - que fa un argument convincent que els estats mixtes adequats són físicament impossibles; només teniu estats purs i estats mixtes impropis.

Quant a com són importants per comprendre la mesura, haurem d’esperar que algú amb alguns bra-kets estalvi; Estic tot fora. Potser Allan Steinhardt :)


Resposta 2:

La diferència entre els estats mixtos propis i els impropis és la diferència entre els que es poden interpretar com a resultat del desconeixement de l'estat pur (barreges adequades) i els que no es poden interpretar tan (barreges inapropiades). Aquestes barreges inapropiades es produeixen quan s’examina un subsistema d’un estat pur més gran.

La distinció és subtil i no sé cap manera d’explicar-la sense un ús extensiu de l’aparell dels operadors de la matriu de densitat. I aquest és un aparell que no sol formar part d’un primer curs en mecànica quàntica. Així que estigueu avisats, això pot resultar una mica cruixent.

Prou excuses, anem a esquerdar.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Quan hi hagi incertesa sobre quins estats puros es poden trobar. Quan el sistema estigui obert (és a dir, es tracti d’un subtítol d’un sistema més gran).

Comencem per introduir operadors de densitat mitjançant la primera situació:

Desconeixement de l’estat del sistema ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... o com a subsistema d'un de més gran:

Penseu en un estat d’enredat (un estat de spin EPR / Bell per a aquest exemple). Aquest és un estat pur:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Per tant, la matriu de densitat d’aquest estat pur és simplement:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Però ara digueu que només se’ns permet fer mesures del primer electró. Per entendre què donaria això, realitzem una operació anomenada traça parcial (que és efectivament un mètode de traçar tots els graus de llibertat associats a la segona partícula) i obtenim una matriu de densitat reduïda que resumeix tots els possibles observables per a la primera. només d’electrons:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Com es fa saber la diferència ...

Heus aquí el quocient: aquesta matriu de densitat reduïda és indistinguible localment de la matriu de densitat que podria obtenir ignorant si el sistema estava en estat pur o en estat pur. Si assignés un 50% de probabilitat a cada possibilitat, l’estat mixt adequat resultant semblaria el mateix:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

Per què són importants en la mesura?

Podem veure-ho aplicant aquestes lliçons al procés de decoració.

En decherencia, un sistema quàntic s’enreda amb el sistema d’aparells de mesura i els termes d’interferència (és a dir, tots els que no es troben en la diagonal de la base “punter” d’aquell aparell de mesura) s’esvaeixen ràpidament (gairebé a zero).

A continuació, podeu prendre la traça parcial per veure la matriu de densitat reduïda del sistema. I, de la mateixa manera que l'exemple anterior, aquesta matriu de densitat reduïda no es distingeix de la matriu de densitat preparada per algú que ignora simplement quin estat punter pur havia preparat en el sistema.

Per tant, es pot tenir la temptació de dir que el problema de mesurament s’ha resolt. Interpretem només la matriu de densitat reduïda com una barreja pura, és a dir, com la nostra ignorància de la posició de punter. A continuació, podrem esbrinar-la, mirant el punter.

Però això és interpretar una barreja inadequada com si es tractés d’una barreja adequada.

O, dit d'una altra manera, és interpretar un "i" com un "o". Tots els estats purs punters es troben encara en la funció d'ona més gran (és a dir, en el sistema complet), i hem de mostrar per què els altres s'esvaeixen (i recordeu que aquesta desaparició és en contradicció amb l'evolució unitària). Encara no ho hem fet.

Què vol dir la gent quan diu que la decoherència resol el problema de mesurament?

Ara si ets una persona Everettiana / de molts mons, això et deixa exactament on vols ser. Podeu acceptar completament que la decoherència dóna un "i", no un "o" a la matriu de densitat reduïda. La gent de Everett / molts mons pot prendre aquesta conclusió completament seriosament i interpretar la matriu de densitat reduïda com a expressió del que "veieu" a la vostra branca, però accepten absolutament que tots els altres estats punters també es realitzen.

Tothom que NO accepta Everett ha d’afegir un compte de com només es selecciona un estat punter de la matriu de densitat reduïda (fins i tot l’escola “calla i calcula” ho ha de fer, tot i que, presumiblement, diuen “Calla i en selecciona un amb probabilitat donada per la regla del Born. ")

El tema és que hi ha algunes persones que semblen discutir seriosament que la descoherència soluciona el problema de mesurament pel seu compte. Prenent-los la paraula, això significa comprometre's amb la interpretació d'Everett. Però a vegades és difícil entendre si accepten tàcitament la visió del món de Everett / Molts mons o simplement han comès l’error de combinar barreges adequades i impropis.


Resposta 3:

La diferència entre els estats mixtos propis i els impropis és la diferència entre els que es poden interpretar com a resultat del desconeixement de l'estat pur (barreges adequades) i els que no es poden interpretar tan (barreges inapropiades). Aquestes barreges inapropiades es produeixen quan s’examina un subsistema d’un estat pur més gran.

La distinció és subtil i no sé cap manera d’explicar-la sense un ús extensiu de l’aparell dels operadors de la matriu de densitat. I aquest és un aparell que no sol formar part d’un primer curs en mecànica quàntica. Així que estigueu avisats, això pot resultar una mica cruixent.

Prou excuses, anem a esquerdar.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Quan hi hagi incertesa sobre quins estats puros es poden trobar. Quan el sistema estigui obert (és a dir, es tracti d’un subtítol d’un sistema més gran).

Comencem per introduir operadors de densitat mitjançant la primera situació:

Desconeixement de l’estat del sistema ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... o com a subsistema d'un de més gran:

Penseu en un estat d’enredat (un estat de spin EPR / Bell per a aquest exemple). Aquest és un estat pur:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Per tant, la matriu de densitat d’aquest estat pur és simplement:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Però ara digueu que només se’ns permet fer mesures del primer electró. Per entendre què donaria això, realitzem una operació anomenada traça parcial (que és efectivament un mètode de traçar tots els graus de llibertat associats a la segona partícula) i obtenim una matriu de densitat reduïda que resumeix tots els possibles observables per a la primera. només d’electrons:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Com es fa saber la diferència ...

Heus aquí el quocient: aquesta matriu de densitat reduïda és indistinguible localment de la matriu de densitat que podria obtenir ignorant si el sistema estava en estat pur o en estat pur. Si assignés un 50% de probabilitat a cada possibilitat, l’estat mixt adequat resultant semblaria el mateix:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

Per què són importants en la mesura?

Podem veure-ho aplicant aquestes lliçons al procés de decoració.

En decherencia, un sistema quàntic s’enreda amb el sistema d’aparells de mesura i els termes d’interferència (és a dir, tots els que no es troben en la diagonal de la base “punter” d’aquell aparell de mesura) s’esvaeixen ràpidament (gairebé a zero).

A continuació, podeu prendre la traça parcial per veure la matriu de densitat reduïda del sistema. I, de la mateixa manera que l'exemple anterior, aquesta matriu de densitat reduïda no es distingeix de la matriu de densitat preparada per algú que ignora simplement quin estat punter pur havia preparat en el sistema.

Per tant, es pot tenir la temptació de dir que el problema de mesurament s’ha resolt. Interpretem només la matriu de densitat reduïda com una barreja pura, és a dir, com la nostra ignorància de la posició de punter. A continuació, podrem esbrinar-la, mirant el punter.

Però això és interpretar una barreja inadequada com si es tractés d’una barreja adequada.

O, dit d'una altra manera, és interpretar un "i" com un "o". Tots els estats purs punters es troben encara en la funció d'ona més gran (és a dir, en el sistema complet), i hem de mostrar per què els altres s'esvaeixen (i recordeu que aquesta desaparició és en contradicció amb l'evolució unitària). Encara no ho hem fet.

Què vol dir la gent quan diu que la decoherència resol el problema de mesurament?

Ara si ets una persona Everettiana / de molts mons, això et deixa exactament on vols ser. Podeu acceptar completament que la decoherència dóna un "i", no un "o" a la matriu de densitat reduïda. La gent de Everett / molts mons pot prendre aquesta conclusió completament seriosament i interpretar la matriu de densitat reduïda com a expressió del que "veieu" a la vostra branca, però accepten absolutament que tots els altres estats punters també es realitzen.

Tothom que NO accepta Everett ha d’afegir un compte de com només es selecciona un estat punter de la matriu de densitat reduïda (fins i tot l’escola “calla i calcula” ho ha de fer, tot i que, presumiblement, diuen “Calla i en selecciona un amb probabilitat donada per la regla del Born. ")

El tema és que hi ha algunes persones que semblen discutir seriosament que la descoherència soluciona el problema de mesurament pel seu compte. Prenent-los la paraula, això significa comprometre's amb la interpretació d'Everett. Però a vegades és difícil entendre si accepten tàcitament la visió del món de Everett / Molts mons o simplement han comès l’error de combinar barreges adequades i impropis.