En estadístiques quina diferència hi ha entre la prova de la proporció de probabilitat i la prova de relació de probabilitats generalitzada?


Resposta 1:

En el context de l'estimació de paràmetres, el test de relació de probabilitats (LRT) només s'aplica a hipòtesis simples, mentre que el test de relació de probabilitats generalitzades (GLRT) es pot utilitzar quan la hipòtesi no és simple. Una hipòtesi senzilla és aquella en què es defineix explícitament el paràmetre en qüestió.

Com a exemple d’ús de LRT, suposem que suposem que una població segueix una distribució normal

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

i volem posar a prova la nul·la hipòtesi

H0:μ=μ0H_0: \mu = \mu_0

i hipòtesi alternativa:

H1:μ=μ1H_1: \mu = \mu_1

. Aleshores, l'estadística de prova LRT és

λ(X)=L(μ1X)L(μ2X).\lambda(X) = \frac{L(\mu_1|X)}{L(\mu_2|X)}.

Com a exemple d’ús de GLRT, suposem que suposem que una població segueix una distribució normal

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

i volem posar a prova la nul·la hipòtesi

H0:μ>0H_0: \mu > 0

i hipòtesi alternativa:

H1:μ0H_1: \mu \leq 0

. Observeu que la hipòtesi a provar ja no és senzilla com el paràmetre en qüestió (

μ\mu

) no es defineix explícitament com a número tal i com va ser en l'exemple anterior. En aquest cas, l'estadística de prova GLRT és

λ(X)=supμΘL(μX)supμΘ0L(μX).\lambda(X) = \frac{\text{sup}_{\mu \in \Theta}{L(\mu|X)}}{\text{sup}_{\mu \in \Theta_0}{L(\mu|X)}}.

Intheaboveexpression,Θisthesetofallpossible[math]μ[/math]value(itiscalledtheparameterspace),and[math]Θ0[/math]isthesetofallpossible[math]μ[/math]valueswhere[math]μ>0[/math](thisisasubsetoftheparameterspace). In the above expression, \Theta is the set of all possible [math]\mu[/math] value (it is called the parameter space), and [math]\Theta_0[/math] is the set of all possible [math]\mu[/math] values where [math]\mu > 0[/math] (this is a subset of the parameter space).

També, en els dos exemples,

XX

són les dades d’exemple que s’utilitzen per calcular el paràmetre

μ\mu

, i

LL

és la funció de probabilitat.