Quina diferència hi ha entre l'àlgebra elemental i l'àlgebra abstracta?


Resposta 1:

Quina diferència hi ha entre l'àlgebra elemental i l'àlgebra abstracta?

L’àlgebra elemental és el que aprens a l’institut, ple de polinomis i resolent

xx

i coses així. Bàsicament, apreneu a manipular expressions que impliquen variables amb valors enters, racionals, reals o complexos.

L’àlgebra abstracte es desprèn d’aquí i es diu: “Sabeu, les sumes, la multiplicació i la divisió funcionen gairebé el mateix amb nombres enters, racionals, nombres reals i complexos, tot i que aquests sistemes de nombres són molt diferents. Les restes no funcionen en nombres naturals i la divisió no funciona en nombres enters. Això, per si mateix, és interessant. En quins altres tipus s’afegeixen, resten, multipliquen i divideixen altres tipus de coses (o no funcionen)? "

L’àlgebra abstracta pren la idea d’àlgebra i ignora els detalls d’allò en què s’actua, de què

xx

és i mira les propietats de les operacions.

Com a tal, estudieu estructures algebraiques com els monoides, els grups, els anells, els camps i altres estructures que es defineixen únicament pels tipus d’operacions que hi tenen. Els grups tenen una operació, un element d’identitat i cada element del grup té una inversa. Els anells tenen dues operacions (una com a addició, i una com la multiplicació) amb certes propietats. Els camps tenen més propietats que anells.


Resposta 2:

Abstract Algebra és l’àlgebra real. No és la continuació de l’àlgebra elemrmtària, però sí que és més fonamental.

El teorema fonamental de l'àlgebra estableix que el polinomi del no grau té exactament n arrels complexes. Les arrels poden ser reals, però els nombres complexos també formen nombres reals.

El polinomi p (x) aquí significava polinomi real al camp del nombre real

R[x]R[x]

. Això significa simplement

p(x)=a0x0+a1x1+a2x2....anxnp(x) = a_0 x^0+ a_1 x^1 + a_2 x^2 .... a_n x^n

on les constants o coeficients

a0,a1,a2....anR.a_0, a_1,a_2 .... a_n ∈R.

També és cert que aquestes constants poden ser un nombre complex i un polinomi en grau en el camp de Coeficients complexos

C[x]C[x]

tenen exactament n arrels complexes. Aquesta és la propietat que defineix per què el camp del nombre complex es denomina també tancament algebraic del camp de nombres reals.

Si un nombre complex és una arrel al polinomi, també ho són els conjugats. Així que vinguin en parella.

També inclou el fet minvat que aquestes arrels són les úniques arrels i no hi pot haver altres arrels.

Alguns d’aquests teoremes són fàcils de comprendre i també són potents i no necessiten gaire àlgebra només per saber-ho ir. Però les seves proves estan més aviat fonamentalment implicades.

Per començar a aprendre àlgebra abstracte: primer heu de delimitar dues coses. Elements i funcionament. L’operació inclou totes les coses com ara suma, resta, multiplicació, divisió i conjugació, que dos elements composen entre si qualsevol operació que pugueu pensar. Després hi ha elements. Aquests elements pel que fa al seu funcionament han d’obeir certes propietats abans que puguem produir-ne alguna àlgebra. Els elements no han de ser nombres només alguns objectes aleatoris.

Els grups són un lloc molt còmode per començar, ja que la majoria dels nostres dominis d'interessos, com ara nombres reals, nombres complexos, racionals, nombres enters són com un grup amb operació addicional. Qualsevol estructura de pregroup com els monoides són encara més abstractes. Els grups tenen elements i una operació amb determinades propietats. Podeu buscar-les pel vostre compte. Però la idea principal és com es lliguen els seus elements entre ells i el seu funcionament. Aquestes propietats es poden transmetre relativament a qualsevol altra estructura algebraica amb elements vinculats de manera similar entre si pel seu funcionament.

Una paraula d’aconsellament: quan comenceu a estudiar Àlgebra abstracta, no us apresseu a estudiar els camps, el teorema fonamental de les teories d’Àlgebra i Galois. Porta temps. Feu-vos conegut per la teoria del grup i aprengueu a apreciar-lo continuant fent-ho mentre apreneu anells, vector, espais i camps. Ha passat un any des que vaig començar a la teoria de grups encara no he arribat al punt de la teoria de Galois.


Resposta 3:

Abstract Algebra és l’àlgebra real. No és la continuació de l’àlgebra elemrmtària, però sí que és més fonamental.

El teorema fonamental de l'àlgebra estableix que el polinomi del no grau té exactament n arrels complexes. Les arrels poden ser reals, però els nombres complexos també formen nombres reals.

El polinomi p (x) aquí significava polinomi real al camp del nombre real

R[x]R[x]

. Això significa simplement

p(x)=a0x0+a1x1+a2x2....anxnp(x) = a_0 x^0+ a_1 x^1 + a_2 x^2 .... a_n x^n

on les constants o coeficients

a0,a1,a2....anR.a_0, a_1,a_2 .... a_n ∈R.

També és cert que aquestes constants poden ser un nombre complex i un polinomi en grau en el camp de Coeficients complexos

C[x]C[x]

tenen exactament n arrels complexes. Aquesta és la propietat que defineix per què el camp del nombre complex es denomina també tancament algebraic del camp de nombres reals.

Si un nombre complex és una arrel al polinomi, també ho són els conjugats. Així que vinguin en parella.

També inclou el fet minvat que aquestes arrels són les úniques arrels i no hi pot haver altres arrels.

Alguns d’aquests teoremes són fàcils de comprendre i també són potents i no necessiten gaire àlgebra només per saber-ho ir. Però les seves proves estan més aviat fonamentalment implicades.

Per començar a aprendre àlgebra abstracte: primer heu de delimitar dues coses. Elements i funcionament. L’operació inclou totes les coses com ara suma, resta, multiplicació, divisió i conjugació, que dos elements composen entre si qualsevol operació que pugueu pensar. Després hi ha elements. Aquests elements pel que fa al seu funcionament han d’obeir certes propietats abans que puguem produir-ne alguna àlgebra. Els elements no han de ser nombres només alguns objectes aleatoris.

Els grups són un lloc molt còmode per començar, ja que la majoria dels nostres dominis d'interessos, com ara nombres reals, nombres complexos, racionals, nombres enters són com un grup amb operació addicional. Qualsevol estructura de pregroup com els monoides són encara més abstractes. Els grups tenen elements i una operació amb determinades propietats. Podeu buscar-les pel vostre compte. Però la idea principal és com es lliguen els seus elements entre ells i el seu funcionament. Aquestes propietats es poden transmetre relativament a qualsevol altra estructura algebraica amb elements vinculats de manera similar entre si pel seu funcionament.

Una paraula d’aconsellament: quan comenceu a estudiar Àlgebra abstracta, no us apresseu a estudiar els camps, el teorema fonamental de les teories d’Àlgebra i Galois. Porta temps. Feu-vos conegut per la teoria del grup i aprengueu a apreciar-lo continuant fent-ho mentre apreneu anells, vector, espais i camps. Ha passat un any des que vaig començar a la teoria de grups encara no he arribat al punt de la teoria de Galois.